Räkna med bråk: Multiplikation och division i flockvärlden

För en tid sedan började dottern med bråk i skolan (i matte alltså), och idag tänkte jag berätta lite om det. Jag hade nyligen en diskussion med en annan mamma om sambandet mellan multiplikation och division, och om varför division oftast är bättre att börja med för barn som har icke-verbala inlärningssvårigheter (alt. inte ser flocken av andra skäl), så jag tänkte att det kan vara intressant för flera.

Har man svårt att fatta grejen med multiplikation, men klarar av det när det bara handlar om siffrorna (t.ex. tabellerna och uppställningarna), samt dessutom förstår division men ändå inte fattar att det ena räknesättet är det andra ”baklänges” – ja, då är det en stark indikation på att det är något med just ”flockfraktalen” som krånglar.

Är det däremot problem med addition och subtraktion så är det större risk att det är problem med det topografiska (fast det kan också vara så att man inte har byggt färdigt det linjära än, eller har insett att det i flocken handlar om endast TVÅ komponenter, två ”halvor”, istället för alla befintliga delar som i ”äkta” topografi).

Addition och subtraktion är alltså den enkla ”flockvarianten” på hur det topografiska används utanför det linjära (i stort sett enbart för att bygga UPP det linjära), medan division och multiplikation sedan handlar om hur man använder det topografiska INUTI det linjära. Att bygga upp en ”äkta” topografi går ju till så här (det är i första steget som addition/subtraktion ”skapas” och först i tredje steget kommer man fram till multiplikation/division):

Det är också här, i det tredje steget, som betydelsen av enheter blir särskilt viktig (se vidare t.ex. Enhetsomvandling, Mera om enhetsomvandling, Enheter och standardiserade omringar). Har man inte fått ihop begreppet ”enhet” (unity) blir multiplikation bara en sifferövning istället för ”division baklänges”, så det är viktigt att man ser till att barnet verkligen förstår det här begreppet (det får alltså inte bli frågan om att bara lära sig några ”enheter” utantill, utan själva begreppet måste knäckas ordentligt). Och dessutom är det mkt lättare att räkna i enheter än i tal, plus att det då går att ha till allt framöver också, det blir som att lära dem ekvationer direkt.

Dottern fattade inte heller ”kopplingen” mellan multiplikation och division förut, innan vi fick ihop enhetstänket. En av orsakerna till svårigheterna är att man har tre enheter att hålla reda på (vilket inte alls är uppenbart). Man har antalet delar (”platserna”), ett annat antal som är en kvot (saker per plats) samt ett tredje antal som är produkten (alla saker på alla platserna). Dottern hade givetvis svårast med det första, ”platserna”, de blir lätt osynliga eftersom de är helt och hållet baserade på den icke-verbala flocken. 🙂

Här ska ni få bilderna som jag använde till dottern också, ifall ni har nytta av dem:

En bra sak kan också vara att inte tala om FYRA räknesätt utan bara två – samt att visa att det inte blir ”enkelt” baklänges för multi/div som för add/sub utan att man måste flytta upp eller ner också.

Varför är det då enklare med division än multiplikation? Skolor och läroböcker gör ju oftast tvärtom, och börjar med multiplikation?

Jo, det är för att en ”produkt” inte är verklig utanför flocken utan bara ”tänkt”, medan kvoten är ”på riktigt”. Tänk på flocken som jagar ett byte: bytet är verkligt och kan delas i delar mellan personerna. ”Produkten” däremot, den är bara ett ”tänkt” byte, den finns inte förrän man redan har en flock som vet att man kan dela på ”bytet”. Därför är det nästan omöjligt att ta det från det hållet om man inte redan ser flocken. Men tar man det från divisionshållet kan man istället lära ut ”multiplikationshållet” och alltså samtidigt även få till ”flocktänket”.

När man sedan kommer till bråk är givetvis enheterna ännu viktigare. För om man inte först har begreppet ”unity”, hur ska man då kunna ”dela upp” just denna ”unity” (helhet) -alldeles särskilt som det inte handlar om att ”dela upp” begreppen i dess sanna topografiska delar utan bara om de linjära fragmenten:

”Linjär” division med ”bråkdelar”.

Etymologiskt har begreppet ”bråka” enl SAOB kopplingar till både ljud och hantverksmetoder:

[jfr d. brage, bråka (lin), nor. braaka, bråka, larma, mnt. brāken, bråka (lin), plöja, bullra; sannol. en afljudsform (med ieur. ē; jfr lat. frēgi, pf. ind. af frangere, bräcka) till BRAKA; jfr BRÄCKA, v.1; de nordiska orden äro möjl. lånade från mnt.]

När man talar om ”bråka” som allmän metod handlar det förstås om att slå sönder en ”helhet” för att åstadkomma något annat (och här ser vi återigen den tydliga kopplingen till ljud och material):

2) göra (ngt) till föremål för behandling (sönderbrytande l. söndersmulande l. ältande o. d.) i syfte att förädla detsamma, bearbeta; stundom: plöja upp.

a) (fullt br.) om det vid beredning af lin l. hampa o. d. förekommande arbetet att knäcka o. aflägsna de träartade beståndsdelarna i växtstjälkarna; i sht om dylikt arbete med lin- l. hampbråka l. särskild maskin (s. k. bråkmaskin).

Det finns naturligtvis även många ”sociala” användningsområden för ”bråk-metoder” av det här slaget – mest känd är kanske maximen divide et impera, men även i gamla straff- och krigsmetoder dyker principen upp:

1) bräcka, bryta, krossa, sönderslå, söndersmula; stundom med afs. på person: rådbråka. Brahe Kr. 50 (c. 1585). Fluxt föllo Krijgzmännerna vthan någhot mootstånd in vthi Stadhen, somblighe vthöfwer ther Muren bråkadh war. Schroderus Liv. 571 (1626). Tessin Bref 1: 92 (1751). — jfr NED-, RÅD-, SÖNDER-BRÅKA m. fl.

Så det finns som vanligt inget sätt att komma runt matematiken i flockvärlden… 🙂

Det här inlägget postades i linjärt perspektiv, socialt samspel, topografiska systemet och har märkts med etiketterna , , , , , , , , . Bokmärk permalänken.

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google-foto

Du kommenterar med ditt Google-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.